การประยุกต์ใช้โครงงานคณิตศาสตร์

โครงงานคณิตศาสตร์

เรื่อง

ระบบจำนวนจริงและการประยุกต์

คำนำ

        โครงงานคณิตศาสตร์ชิ้นนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งคณะผู้จัดทำมีความสนใจในเรื่องการระบบจำนวนจริงและการประยุกต์จึงได้ศึกษาค้นคว้าและหาข้อมูลเพื่อจะนำมาทำโครงงานชิ้นนี้คณะผู้จัดทำได้หวังว่า โครงงานคณิตศาสตร์ชิ้นนี้จะมีประโยชน์แก่ผู้สนใจ และเพื่อนๆเยาวชนในโรงเรียนเป็นอย่างมาก

         คณะผู้จัดทำ

สารบัญ

เรื่อง                                                                                                                                    หน้า

บทคัดย่อ                                                                                                                              1-2

เนื้อหาโครงงาน                                                                                                                 3-4

            - ความเป็นมา                                                                                                  

            - วัตถุประสงค์                                                                                                 

            - กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง                                                                                    

            - วิธีดำเนินงาน

ตารางดำเนินงาน                                                                                                                5

ผลการศึกษา                                                                                                                      6-19     

-การให้เหตุผลแบบอุปนัย

-การให้เหตุผลแบบนิรนัย                                                                                                   

สรุปผล                                                                                                                           20

บรรณานุกรม                                                                         21

บทคัดย่อ

หัวข้อ การศึกษาเรื่อง   ระบบจำนวนจริงและการประยุกต์

ความเป็นมา

            การศึกษาเรื่อง การหารและเศษเหลือ มีความเป็นมาโดยย่อคือ ในการหาเศษที่เกิดขึ้นจากการหารพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพหุนามที่เป็นตัวหารซึ่งมีดีกรีต่ำกว่านั้นนอกเหนือจากจะหาได้ด้วยวิธีการตั้งหารตามปกติแล้ว ถ้าในกรณีที่ตัวหารเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งแล้วเราสามารถจะหาเศษจากการหารได้ง่าย ๆ ด้วยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือเข้ามาช่วย ซึ่งน่าจะทำให้ประหยัดเวลามากกว่าและมีโอกาสผิดพลาดจากการคำนวณน้อยกว่าวิธีการตั้งหารตรง ๆ นอกจากนี้แล้วยังสามารถประยุกต์หลักการเกี่ยวกับทฤษฎีเศษเหลือนั้นไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาที่ซับซ้อนเกี่ยวกับการหารพหุนามได้อย่างมีประสิทธิภาพ กลุ่มทำงานจึงวางแผนรวมกันที่จะศึกษาหาแบบรูปและนำเรื่องนี้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันหรือเพื่อการศึกษาในระดับสูงต่อไปได้  ทั้งยังช่วยให้ผู้เรียนมีเจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ด้วยกลุ่มทำงานจึงเสนอทำโครงงานนี้
จุดประสงค์

            1.เพื่อการศึกษาเกี่ยวกับการหารและเศษเหลือ

            2.เพื่อนำเรื่องนี้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันหรือศึกษาในระดับสูงขึ้นได้

กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง

            1.ภาษาไทย  เรื่องการใช้ภาษาไทย การอ่าน  คิดวิเคราะห์และเขียนสื่อความ

            2.คณิตศาสตร์ เรื่องการหารและเศษเหลือ

1

วิธีการดำเนินงาน

            1.กลุ่มทำงานประชุมเพื่อปรึกษาและวางแผนร่วมกันบันทึกลงตัวร่างบทคัดย่อโครงงานเสนอต่อครูประจำวิชา เพื่อความเห็นชอบและตรวจสอบความถูกต้องก่อนลงมือดำเนินงาน

            2.กลุ่มทำงานเก็บรวบรวมข้อมูลตามหลักการทางสถิติจากแหล่งข้อมูลต่างๆ เช่น ห้องสมุด สื่อและสิ่งพิมพ์รวมทั้งข้อมูลทางอินเตอร์เน็ต  บันทึกข้อมูลลงแฟลชไดรฟ์

            3.กลุ่มทำงานประชุมเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้  ร่วมกันวิเคราะห์ สรุปผลหรือสร้างสื่อที่จำเป็นประกอบการนำเสนอโครงงาน  แล้วเสนอต่อครูประจำวิชา

            4.กลุ่มทำงานนำเสนอโครงงานต่อที่ประชุมในห้องเรียน  ตอบข้อซักถามความคิดเห็นเป็นที่ประจักษ์และให้ครู,เพื่อนและผู้ปกครอง  ประเมินผลการทำโครงงานของกลุ่มทำงานโดยใช้แบบประเมิน 3 ชุด

            5.กลุ่มทำงานจัดพิมพ์ข้อมูลเอกสารโครงงานและสื่อประกอบต่างๆ จำนวน 1 เล่มพร้อมกับบันทึกข้อมูลลงในแฟลชไดรฟ์  นำส่งครูประจำวิชาเพื่อตรวจสอบความถูกต้องและรอรับแฟลชไดรฟ์คืนเมื่ออัพโหลดขึ้นเว็บของ ร.ร. แล้ว

ผลที่คาดว่าจะได้รับ

            1.สามารถเรียนรู้เรื่อง การหารและเศษเหลือและสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้

            2.สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันหรือศึกษาต่อในระดับสูงขึ้นได้

2

เนื้อหาโครงงาน

หัวข้อ การศึกษาเรื่อง   ระบบจำนวนจริงและการประยุกต์

ความเป็นมา

            การศึกษาเรื่อง การหารและเศษเหลือ มีความเป็นมาโดยย่อคือ ในการหาเศษที่เกิดขึ้นจากการหารพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพหุนามที่เป็นตัวหารซึ่งมีดีกรีต่ำกว่านั้นนอกเหนือจากจะหาได้ด้วยวิธีการตั้งหารตามปกติแล้ว ถ้าในกรณีที่ตัวหารเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งแล้วเราสามารถจะหาเศษจากการหารได้ง่าย ๆ ด้วยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือเข้ามาช่วย ซึ่งน่าจะทำให้ประหยัดเวลามากกว่าและมีโอกาสผิดพลาดจากการคำนวณน้อยกว่าวิธีการตั้งหารตรง ๆ นอกจากนี้แล้วยังสามารถประยุกต์หลักการเกี่ยวกับทฤษฎีเศษเหลือนั้นไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาที่ซับซ้อนเกี่ยวกับการหารพหุนามได้อย่างมีประสิทธิภาพ กลุ่มทำงานจึงวางแผนรวมกันที่จะศึกษาหาแบบรูปและนำเรื่องนี้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันหรือเพื่อการศึกษาในระดับสูงต่อไปได้  ทั้งยังช่วยให้ผู้เรียนมีเจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ด้วยกลุ่มทำงานจึงเสนอทำโครงงานนี้
จุดประสงค์

            1.เพื่อการศึกษาเกี่ยวกับการหารและเศษเหลือ

            2.เพื่อนำเรื่องนี้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันหรือศึกษาในระดับสูงขึ้นได้

กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง

            1.ภาษาไทย  เรื่องการใช้ภาษาไทย การอ่าน  คิดวิเคราะห์และเขียนสื่อความ

            2.คณิตศาสตร์ เรื่องการหารและเศษเหลือ

3

วิธีการดำเนินงาน

            1.กลุ่มทำงานประชุมเพื่อปรึกษาและวางแผนร่วมกันบันทึกลงตัวร่างบทคัดย่อโครงงานเสนอต่อครูประจำวิชา เพื่อความเห็นชอบและตรวจสอบความถูกต้องก่อนลงมือดำเนินงาน

            2.กลุ่มทำงานเก็บรวบรวมข้อมูลตามหลักการทางสถิติจากแหล่งข้อมูลต่างๆ เช่น ห้องสมุด สื่อและสิ่งพิมพ์รวมทั้งข้อมูลทางอินเตอร์เน็ต  บันทึกข้อมูลลงแฟลชไดรฟ์

            3.กลุ่มทำงานประชุมเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้  ร่วมกันวิเคราะห์ สรุปผลหรือสร้างสื่อที่จำเป็นประกอบการนำเสนอโครงงาน  แล้วเสนอต่อครูประจำวิชา

            4.กลุ่มทำงานนำเสนอโครงงานต่อที่ประชุมในห้องเรียน  ตอบข้อซักถามความคิดเห็นเป็นที่ประจักษ์และให้ครู,เพื่อนและผู้ปกครอง  ประเมินผลการทำโครงงานของกลุ่มทำงานโดยใช้แบบประเมิน 3 ชุด

            5.กลุ่มทำงานจัดพิมพ์ข้อมูลเอกสารโครงงานและสื่อประกอบต่างๆ จำนวน 1 เล่มพร้อมกับบันทึกข้อมูลลงในแฟลชไดรฟ์  นำส่งครูประจำวิชาเพื่อตรวจสอบความถูกต้องและรอรับแฟลชไดรฟ์คืนเมื่ออัพโหลดขึ้นเว็บของ ร.ร. แล้ว

ผลที่คาดว่าจะได้รับ

            1.สามารถเรียนรู้เรื่อง การหารและเศษเหลือและสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้

            2.สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันหรือศึกษาต่อในระดับสูงขึ้นได้

4

ตารางดำเนินงาน

วัน/เดือน/ปี	รายงาน	ผู้รับผิดชอบ
24 ธันวาคม 54	ประชุมเพื่อรับมอบหมายงาน	คณะผู้จัดทำ
25 ธันวาคม 54	เก็บรวบรวมข้อมูลจาก Web Site	นางสาวชลาธาร โพธิชัย นางสาวจุฑามาส อยู่อ่อน
31 ธันวาคม 54	ประชุมเพื่อวิเคราะห์ข้อมูลและผลการศึกษา	คณะผู้จัดทำ
7 มกราคม 55	จัดพิมพ์บทคัดย่อ	นางสาวณัฐพร กนึกรัตน์ นางสาวอัจฉรา แซ่จึง
30 มกราคม 55	นำเสนอโครงงานต่อที่ประชุม v      บทคัดย่อ v      เนื้อหาโครงงาน v      สรุปผลการดำเนินงาน	นางสาวโชติรส ชื่นชม นางสาวประพาพิณ ทองกร
-	จัดทำรูปเล่มและเอกสารส่งอาจารย์ที่ปรึกษา	คณะผู้จัดทำ

5

ผลการศึกษา

ทฤษฎีจำนวน

โดยธรรมเนียมเดิมนั้น ทฤษฎีจำนวน(number theory) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจำนวนเต็ม สาขานี้มีผลงานและปัญหาเปิดมากมายที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แม้กระทั่งผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ แต่ในปัจจุบัน สาขานี้ยังได้สนใจกลุ่มของปัญหาที่กว้างขึ้น ซึ่งมักเป็นปัญหาที่ต่อยอดมาจากการศึกษาจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาสาขานี้เรียกว่า นักทฤษฎีจำนวน

คำว่า "เลขคณิต" (arithmetic) มักถูกใช้เพื่ออ้างถึงทฤษฎีจำนวน นี่เป็นการเรียกในอดีต ซึ่งในปัจจุบันไม่ได้รับความนิยมเช่นเคย ทฤษฎีจำนวนเคยถูกเรียกว่า เลขคณิตชั้นสูง ซึ่งเลิกใช้ไปแล้ว อย่างไรก็ตามคำว่า "เลขคณิต" ยังปรากฏในสาขาทางคณิตศาสตร์อยู่ (เช่นฟังก์ชันเลขคณิต เลขคณิตของเส้นโค้งวงรี หรือทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต) ไม่ควรจะสับสนระหว่างคำว่า เลขคณิต นี้ กับเลขคณิตมูลฐาน(elementary arithmetic) หรือสาขาของตรรกศาสตร์ที่ศึกษาเลขคณิตเปียโนในรูปของระบบรูปนัย

สาขา

ทฤษฎีจำนวนพื้นฐาน

เป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีจำนวนที่ศึกษาจำนวนโดยไม่ได้ใช้ความรู้ชั้นสูงจากสาขาอื่นเลย ปัญหาที่สาขานี้สนใจส่วนใหญ่แล้วจะเกี่ยวกับสมบัติที่น่าสนใจต่างๆของจำนวน เช่น การหารลงตัว(divisibility) การแยกตัวประกอบเฉพาะ(prime factorization) และ จำนวนสมบูรณ์(perfect number) เป็นต้น แม้ว่าสาขานี้จะใช้เพียงความรู้พื้นฐานของคณิตศาสตร์ในการทำวิจัย ผลงานในสาขานี้หลายอย่างมีประโยชน์อย่างมากในทางปฏิบัติเช่น ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน (Chinese Remainder Theorem)ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ (Fermat's little theorem) ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler's theorem) ถูกนำไปใช้ในงานวิจัยด้าน ทฤษฎีพื้นฐานของการเข้ารหัส

6

ปัญหาบางอย่างในสาขานี้ดูแล้วเหมือนกับว่าจะง่าย แต่แท้จริงแล้วต้องใช้ความเข้าใจอย่างมากในการแก้ปัญหา เช่น

• ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาช (Goldbachconjecture)
• ข้อความคาดการณ์ของคาตาลอง (Catalan's conjecture)
• ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝด (Twin prime conjecture

การหาร (อังกฤษ: division) ในทางคณิตศาสตร์ คือ การดำเนินการเลขคณิตที่เป็นการดำเนินการผันกลับของการคูณ และบางครั้งอาจมองได้ว่าเป็นการทำซ้ำการลบ พูดง่ายๆ คือการแบ่งออกหรือเอาเอาออกเท่าๆ กัน จนกระทั่งตัวหารเหลือศูนย์ (หารลงตัว)

ถ้า a × b = c,   เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0 แล้ว

a = c ÷ b

(อ่านว่า "c หารด้วย b") ตัวอย่างเช่น 6 ÷ 3 = 2 เพราะว่า 2 × 3 = 6

ในนิพจน์ข้างบน a คือ ผลหาร, b คือ ตัวหารและ c คือ ตัวตั้งหาร

นิพจน์ c ÷ b มักเขียนแทนด้วย "c/b" โดยเฉพาะในคณิตศาสตร์ขั้นสูง (รวมถึงการประยุกต์ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม) และในภาษาโปรแกรม การเขียนแบบนี้ มักใช้แทนเศษส่วน ซึ่งยังไม่ต้องการหาค่า

ในภาษาอื่นๆ ที่ไม่ใช่ภาษาอังกฤษ c ÷ b มักเขียนว่า c : b ซึ่งในภาษาอังกฤษ จะใช้เครื่องหมายทวิภาค (:) เมื่อมันเกี่ยวข้องกับสัดส่วน

สำหรับการหารด้วยศูนย์นั้น ไม่นิยาม

7

8

การหารพหุนาม

     1.การหารพหุนาม ด้วย เอกนาม  
* ความสัมพันธ์ :
เช่น 
2.การหารพหุนามด้วยพหุนาม
เช่น   

วิธีที่ 1 เรียงพจน์ของพหุนามตัวตั้งและตัวหาร จากพจน์ที่มีดีกรีมากไปน้อยแล้วเขียนการหาร ดังนี้

วิธีที่ 2 นำพจน์แรกของตัวหาร คือ  ไปหารพจน์แรกของตัวตั้ง คือ  จะได้ผลหารเป็น   เขียนผลหารไว้บรรทัดเหนือตัวตั้ง เขียนตำแหน่งให้ตรงกับ  

วิธีที่ 3 นำผลหารที่ได้จากข้อ 2 คือ  ไปคูณตัวหาร คือ  ได้ผลคูณเป็น  เขียนผลคูณไว้ที่บรรทัดใต้ตัวตั้ง             

วิธีที่ 4 นำผลคูณที่ได้จากข้อ 3 คือ  ไปลบออกจากตัวตั้ง คือ  จะได้ผลลบเป็น 

วิธีที่ 5 ผลลบที่ได้จากข้อ 4 คือ   เป็นตัวตั้งใหม่ ให้ดูดีกรีของตัวตั้งใหม่น้อยกว่าดีกรีตัวหาร  หรือ ไม่ถ้าน้อยกว่าให้หยุดการหาร ถ้าไม่น้อยกว่าให้ทำการหารต่อไป

9

วิธีที่ 6 นำพจน์แรกของตัวหาร คือ  ไปหารตัวแรกของตัวตั้งใหม่   จะได้ผลหารเป็น  นำผลหารที่ได้ในข้อ 2 เป็น หรือ แล้วทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 และ 4 จนได้ตัวตั้วใหม่ คือ พหุนาม 0 จึงหยุดการหาร

จากการหารข้างต้น  หารด้วย   ได้ผลหารเป็น   เศษเป็น 0 ความสัมพันธ์ คือ 
เมื่อหารเป็นพหุนาม และ เศษเป็นศูนย์หรือเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีตัวหาร

ทฤษฎีเศษเหลือเหนือพหุนาม

ในการหาเศษที่เกิดขึ้นจากการหารพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพหุนามที่เป็นตัวหารซึ่งมีดีกรีต่ำกว่านั้นนอกเหนือจากจะหาได้ด้วยวิธีการตั้งหารตามปกติแล้ว ถ้าในกรณีที่ตัวหารเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งแล้วเราสามารถจะหาเศษจากการหารได้ง่าย ๆ ด้วยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือเข้ามาช่วย ซึ่งน่าจะทำให้ประหยัดเวลามากกว่าและมีโอกาสผิดพลาดจากการคำนวณน้อยกว่าวิธีการตั้งหารตรง ๆ นอกจากนี้แล้วยังสามารถประยุกต์หลักการเกี่ยวกับทฤษฎีเศษเหลือนั้นไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาที่ซับซ้อนเกี่ยวกับการหารพหุนามได้อย่างมีประสิทธิภาพ
หลักการที่ควรรู้ ซึ่งผู้เรียนคณิตศาสตร์ควรจำและเข้าใจมีดังนี้
1. ให้ P(x) เป็นพหุนาม ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงซึ่งเป็นค่าคงตัว แล้ว เศษที่ได้จากการหารเท่ากับ P( c )

10

2. ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม ax - b เมื่อa, b เป็นจำนวนจริง และ a ไม่เท่ากับ 0 แล้วเศษที่ได้จากการหารจะเท่ากับ P(b/a)
3. x - c เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) ก็ต่อเมื่อ P(c) = 0
4. ax - b เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x0 ก็ต่อเมื่อ P(b/a) = 0
ตัวอย่าง 1. จงหาเศษจากการหาร x^3 - x^2 - 3x + 6 ด้วย x - 2
วิธีทำ ให้ p(x) = x^3 - x^2 - 3x + 6 แล้ว แทนx ด้วย 2 ลงใน P(x) จะได้ P(2) = 2^3 - 2^2 - 3(2) + 6 = 4
แสดงว่า เศษจากการหารเป็น 4 #
ตัวอย่าง 2 จงหาเศษจากการหาร x^3 + 4(x^2) + 5x + 2 ด้วย x + 3
วิธีทำ ให้ p(x) = x^3 + 4(x^2) + 5x + 2 แล้ว แทน x ด้วย -3 ลงใน P(x) จะได้ P(-3) = (-3)^3 +4((-3) ^2) +5(-3) + 2 = -4
แสดงว่า เศษจากการหารเป็น -4 #
ตัวอย่าง 3 (ข้อสอบ Entrance) กำหนด P(x) = x^5 + a(x^3) - x + b โดยที่ a, b เป็นจำนวนจริง ถ้า x - 1 หาร P(x) เหลือเศษ -1 และ x + 1 หารP(x) เหลือเศษ 1 แล้ว x หาร P(x) จะเหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. -1
2. 0
3. 1
4. 2
แนวคิด จาก P(x) = x^5 + a(x^3) - x + b
ถ้า x - 1 หาร P(x) เหลือเศษ -1 จะได้ P(1) = -1และ
x + 1 หาร P(x) เหลือเศษ 1 จะได้ P(-1) = 1
จะกำหนดสมการได้เป็น
a + b = 1 ..........(1)
-a + b = -1 ..........(2)
แก้ระบบสมการจะได้ a = 0 และ b = -1
ดังนั้น P(x) = x^6 - x - 1
เมื่อหารด้วย x หรือ x-0 ก็แทน x ด้วย 0 ลงไปในP(x) จะได้ P(0) = -1 ซึ่งเป็นเศษตามต้องการ#                          

11

ตัวอย่าง 4 (Entrance) กำหนดให้ x + 1 และ x - 1 เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 3(x^2) + x^2 - ax + b เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัว เศษเหลือที่ได้จากการหาร P(x) ด้วย x - a - bเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 15
2. 17
3. 19
4. 21
แนวคิด ให้ P(x) = 3(x^3) + x^2 - ax + b
เนื่องจาก x + 1 เป็นตัวประกอบของ P(x) แสดงว่าเมื่อหาร P(x) ด้วย x + 1 เศษเป็น 0
และ x - 1 เป็นตัวประกอบของ P(x) แสดงว่าเมื่อหาร P(x) ด้วย x - 1 เศษเป็น 0
ดังนั้น P(-1) : 3[(-1)^3] + (-1)^2 - a(-1) + b = 0
a + b = 2 ..........(1)
และ P(1) : 3(1^3) + 1^2 -a(1) + b = 0
-a + b = -4 ..........(2)
แก้ระบบสมการ จะได้ a = 3, b = -1
ดังนั้น P(x) = 3(x^3) + x^2 - 3x -1
จะได้ x - a - b = x - 2
หาเศษโดยแทน x ด้วย 2 ลงใน P(x) จะได้ P(2) = 21 ซึ่งเป็นเศษตามต้องการ

12

จำนวนเฉพาะ

        เลขจำนวนใด ๆ ที่เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 1 สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็นผลคูณของตัวเลขจำนวนเฉพาะเสมอ

        ในคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1และตัวมันเอง. จำนวนประกอบ คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวก นอกเหนือจาก 1และตัวมันเอง

ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นด้วย

        2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113...

สมบัติบางประการของจำนวนเฉพาะ

• ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p หาร ab ลงตัวแล้ว p หาร a ลงตัว หรือ p หาร b ลงตัว ประพจน์นี้พิสูจน์โดยยุคลิด และมีชื่อเรียกว่า บทตั้งของยุคลิด ใช้ในการพิสูจน์เรื่องการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว
• ริง (ดูที่เลขคณิตมอดุลาร์) Z/nZ เป็นฟิลด์ ก็ต่อเมื่อ n เป็นจำนวนเฉพาะ
• ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว ap − a หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทน้อยของแฟร์มาต์)
• จำนวนเต็ม p > 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ (p − 1)! + 1 หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทของวิลสัน). บทกลับ, จำนวนเต็ม n > 4 เป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ (n − 1)! หารด้วย n ลงตัว
• ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว จะมีจำนวนเฉพาะ p ที่ n < p < 2n (สัจพจน์ของเบอร์แทรนด์)
• สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 2 จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้ p = 4n ± 1
• สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 3 จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้ p = 6n ± 1

จำนวนประกอบ

จำนวนประกอบ (composite number) คือจำนวนเต็มบวกที่สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ 2 จำนวนขึ้นไป จำนวนเต็มทุกๆจำนวนยกเว้น 1 กับ 0 จะเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น จำนวนเต็ม 14 เป็นจำนวนประกอบ เพราะว่ามันแยกตัวประกอบได้เป็น 2 × 7

13

จำนวนประกอบ 89 ตัวแรกมีดังนี้

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36,38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51,52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65,66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80,81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93,94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105,106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116,117, 118, 119, 120, ...

คุณสมบัติ

·        จำนวนคู่ทุกจำนวนที่มากกว่า 2 เป็นจำนวนประกอบ

·        จำนวนประกอบทุกจำนวน ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

·        จำนวนประกอบที่น้อยที่สุดคือ 4

·        สำหรับจำนวนประกอบ ทุกจำนวนที่มากกว่า 4

·        สำหรับจำนวนประกอบ ทุกจำนวนที่มากกว่า 4

14

ตัวหารร่วมที่มากทีสุด (ห.ร.ม.)
           ตัวหารร่วมที่มากที่สุดของจำนวนใดๆ  ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป  หมายถึง  จำนวนที่มีค่ามากที่สุดที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดเหล่านั้นได้ลงตัว
           วิธีการหา  ห.ร.ม.
            1.  โดยการแยกตัวประกอบ  มีวิธีการดังนี้
                       (1) แยกตัวประกอบของจำนวนทุกจำนวนที่ต้องการหาร ห.ร.ม.
                       (2) เลือกตัวประกอบที่ซ้ำกันของทุกจำนวนมาคูณกัน
                       (3) ห.ร.ม. คือ  ผลคูณที่ได้
            
                   ตัวอย่าง   จงหา ห.ร.ม. ของ  56   84  และ 140
             วิธีทำ            56 = 
                                84 = 
                              140 = 
                              เลือกตัวที่ซ้ำกัน  ที่อยู่ทั้ง 56 84และ 140 ตัวทีซ้ำกันเอามาซ้ำละ 1 ตัว  
                                                    คือ  มีเลข  2   เลข  2 และ เลข 7

                 ดังนั้น       ห.ร.ม.   =  

            2. การหารสั้น   มีวิธีการดังนี้
                        1)  นำจำนวนทั้งหมดที่ต้องการหา ห.ร.ม. มาเขียนเรียงกัน
                        2)  หาจำนวนเฉพาะที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดได้ลงตัวมาหารไปเรื่อยๆ จนกว่าไม่สามารถหาได้
                        3)  นำตัวหารทุกตัวที่ใช้มาคูณกัน  เป็นค่าของ  ห.ร.ม.

                ตัวอย่าง   จงหา ห.ร.ม. ของ  56   84  และ 140
                         วิธีทำ      2)  56       84       140                                      2)  28       42        70                                      7)  14       21        35                                            2         3         5
                           ห.ร.ม.  คือ  2 x 2 x 7 = 28

15

http://stu.sombat.biz/new/log/index2.htm